分段插值
插值多项式余项公式说明插值节点越多，误差越小，函数逐近越好，但后来人们发现，事实并非如此，例如：取被插函数，在[-5，5]上的n+1个等距节点：
计算出f(xk）后得到Lagrange插值多项式Ln(x），考虑[-5,5]上的一点x=5-5/n，分别取n=2,6,10,14,18计算f(x),Ln(x）及对应的误差Rn(x）。
随节点个数n的增加，误差lRn(x)l不但没减小，反而不断的增大.这个例子最早是由Runge研究，后来人们把这种节点加密但误差增大的现象称为Runge现象.出现Runge现象的原因主要是当节点n较大时，对应的是高次插值多项式。
此差得积累"淹没"了增加节点减少的精度.Runge现象否定了用高次插值公式提高逼近精度的想法，本节的分段插值就是克服Runge现象引入的一种插值方法.
分段多项式插值的定义为
定义2:a=x0
如果函数Φ（x）满足条件
Φ（x）在[a,b]上连续
Φ（xr)=yR,R=0,1，…，n
Φ（x)zai每个小区间[xR,xR+1]是m次多项式，
R=0,1，…，n-1则称Φ（x）为f(x）在[a,b]上的分段m次插值多项式
实用中，常用次数不超过5的底次分段插值多项式，本节只介绍分段线性插值和分段三次Hermite插值，其中分段三次Hermite插值还额外要求分段插值函数Φ（x)
在节点上与被插值函数f(x）有相同的导数值，即
基本思想将被插值函数f〔x〕的插值节点由小到大排序，然后每对相邻的两个节点为端点的区间上用m次多项式去近似f〔x〕.
插值法原理
数学内插法即“直线插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P(i,b)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1,i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。n
数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。n
上述公式易得。A、B、P三点共线，则nn(b-b1)/(i-i1)=(b2-b1)/(i2-i1)=直线斜率，变换即得所求。n
