悬链线

简介

悬链线是一种曲线，它的形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名。它的公式为：y = acosh frac

其中 ''a'' 是一个常数。

详述

悬链线的证明

最低点处受水平向左的拉力H，右悬挂点处受一个斜向上的拉力T，设T和水平方向夹角为θ，绳子一半的质量为m,受力分析有：

Tsinθ=mg;

Tcosθ=H,

并且对于绳上任意一点有

tanθ=dy/dx=mg/H;

mg=ρs;

其中s是右半段绳子的长度,ρ是绳子密度,认为绳子截面积是1,带入得微分方程dy/dx=ρs/H;利用弧长公式ds=√(1+dy^2/dx^2)*dx;

所以s=∫√(1+dy^2/dx^2)*dx;

所以把s带入微分方程得dy/dx=ρ∫√(1+dy^2/dx^2)*dx/H;.....(1)

对于(1)设p=dy/dx微分处理

得 p'=ρ/H*√(1+p^2)......(2)

p'=dp/dx;

对（2）分离常量求积分

∫dp/√(1+p^2)=∫ρ/H*dx

得ln【p+√(1+p^2)】=ρx/H+C

当x=0时，dy/dx=p=0;带入得C=0；

整理得ln【p+√(1+p^2)】=ρx/H；

1+p^2=e^(2ρx/H)-2pe^(ρx/H)+p^2;

即p=【e^(ρx/H)-e^(-ρx/H)】/2=dy/dx;

dy得y=H/(2ρ)*【e^(ρx/H)+e^(-ρx/H)】 ；

如果令a=ρ/H的话

y=【e^(x/a)+e^(-x/a)】/(2a)。