定义介绍
A是n阶方阵,若r(A)=r,存在可逆矩阵P、Q,使得:,则B为幂等矩阵,。
等价命题1:若A是幂等矩阵,则与A相似的任意矩阵是幂等矩阵;
等价命题2:若A是幂等矩阵,则A的AH、AT、A*、E-AH、E-AT都是幂等矩阵;
等价命题3:若A是幂等矩阵,则对于任意可逆阵T,也为幂等矩阵;
等价命题4:若A是幂等矩阵,A的k次幂仍是幂等矩阵。
由于幂等矩阵所具有的良好性质及其对向量空间的划分,幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要的作用,同时也为空间的投影过程提供了一种工具。
性质
幂等矩阵的主要性质:
1.幂等矩阵的特征值只可能是0,1;
2.幂等矩阵可对角化;
3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩,即tr(A)=rank(A);
4.可逆的幂等矩阵为E;
5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵;
6.幂等矩阵A满足:A(E-A)=(E-A)A=0;
7.幂等矩阵A:Ax=x的充要条件是x∈R(A);
8.A的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求,可以给出幂等矩阵的运算:
1)设 A₁,A₂都是幂等矩阵,则(A₁+A₂) 为幂等矩阵的充分必要条件为:A₁·A₂ =A₂·A₁=0,且有:R(A₁+A₂) =R (A₁) ⊕R (A₂);N(A₁+A₂) =N(A₁)∩N(A₂);
2)设 A₁, A₂都是幂等矩阵,则(A₁-A₂) 为幂等矩阵的充分必要条件为:A₁·A₂=A₂·A₁=A₂,且有:R(A₁-A₂) =R(A₁)∩N (A₂);N (A₁- A₂) =N (A₁)⊕R (A₂);
3)设 A₁,A₂都是幂等矩阵,若A₁·A₂=A₂·A₁,则A₁·A₂为幂等矩阵,且有:R (A₁·A₂) =R(A₁) ∩R (A₂);N (A₁·A₂) =N (A₁) +N (A₂)。