简介
它的数学表达式是
按照安培环路定理,环路所包围电流之正负应服从右手螺旋法则。如果闭合路径l包围着两个流向相反的电流I1和I2(如图1所示):
按图1中选定的闭合路径l的绕行方向,B矢量沿此闭合路径的环流为:
如果闭合路径l包围的电流等值反向,或者环路中并没有包围电流,则:
积分形式
B电流I在一个曲面S上的通量,等于B场沿着S的边缘闭合回路C的路径积分。采用国际单位制,原版安培定律的积分形式可以写为:
请注意到这方程有些模糊之处,需要特别澄清:
第一,边界曲线C的正向与曲面S的侧符合右手规则。
第二,(固定C)定理之成立与以C为边界S的的选择无关。
安培定律可由毕奥-萨伐尔定律和磁场的叠加性证明(请参阅毕奥-萨伐尔定律)。在静磁学中,安培定律的角色与高斯定律在静电学的角色类似。当系统组态具有适当的对称性时,我们可以利用这对称性,使用安培定律来便利地计算磁场。例如,当计算一条直线的载流导线或一个无限长螺线管的磁场时,可以采用圆柱坐标系来匹配系统的圆柱对称性。
微分形式
根据开尔文-斯托克斯定理,这方程也可以写为微分形式。只有当电场不含时间的时候,也就是说,当电场对于时间的偏微分等于零的时候,这方程才成立。采用国际单位制,这方程表示为:
。
磁场的旋度等于(产生该磁场的)传导电流密度。
缺点
原版安培定律只适用于静磁学。在电动力学里,当物理量含时间,有些细节必须仔细检查。思考安培方程:
。
其中,是B场,是磁常数,是总电流。
取散度于这方程,则会得到:
。
应用一个矢量恒等式,旋度的散度必定等于零。所以:
。
这意味着电流密度的散度等于零:
。
在静磁学内,这是正确的。但是,出了静磁学范围,当电流不稳定的时候,这就不一定正确了。
一个正在充电的电容器,左边的圆形金属板,被一个假想的封闭圆柱表面S包围。这圆柱表面的右边表面R处于电容器的两块圆形金属板之间,左边表面L处于最左边。没有任何传导电流通过表面R,而有电流I通过表面L。
举个经典例子,一个正在充电的电容器,其两片金属板会随着时间分别累积异性电荷。设定表面L的边缘为闭合回路C。应用安培定律:
为了解决上述难题,安培定律必须加以修改延伸。应用流体力学的方法,麦克斯韦摹想磁场为电介质涡旋(vortex)大海,而位移电流即为大海内的电极化电流。在他于1861年发表的论文《论物理力线》里面,麦克斯韦将位移电流项目加入了安培定律。
证明方法
如果在某个载流导体的稳恒磁场中可以找到一条闭合环路l,该环路上的磁感强度B大小处处相等,B的方向和环路的绕行方向也处处同向,载流长直螺线管内磁场应用安培环路定理忽略了左右下的部分,证明并不是在环路上B的大小处处相等环路方向与磁感应强度方向相同处,B的大小方向处处相等。
对称环路
在垂直于长直载流导线的平面内,以载流导线为圆心作一条半径为r的圆形环路l,
则在这圆周上任一点的磁感强度H的大小为
其方向与圆周相切.取环路的绕行方向为逆时针方向,取线元矢量dl,则H与dl间的夹角,H沿这一环路l的环流为
式中积分是环路的周长。
于是上式可写成为
从上式看到,H沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围的电流I有关,而与环路的大小、形状无关。
任意环路
在垂直于长直载流导线的平面内,环绕载流直导线作一条任意环路l,取环路的绕行方向为逆时针方向。
在环路上任取一段线元dl,载流直导线在线元dl处的磁感强度B大小为
H与dl的夹角为,则H对dl的线积分为
直导线中心向线元的张角为,则有,所以有
可见,H对dl的线积分与到直导线的距离无关。
那么B对整个环路的环流值为
上述计算再次说明H的环流值与环路的大小、形状无关。
不包围电流
在垂直于长直载流导线的平面内,在载流直导线的外侧作一条如图2所示的任意环路l,取环路的绕行方向为逆时针方向。
以载流直导线为圆心向环路作两条夹角为的射线,在环路上截取两个线元和。和距直导线圆心的距离分别为和,直导线在两个线元处的磁感强度分别为和。从图2可以看出,而利用安培环路定理的证明之二的结论可知。
结论
所以有:
从载流直导线中心O出发,可以作许多条射线,将环路分割成许多成对的线元,磁感强度对每对线元的标量积之和,都有上式的结果,故即环路不包围电流时,B的环流值为零。
安培环路定理反映了磁场的基本规律。和静电场的环路定理相比较,稳恒磁场中B的环流,说明稳恒磁场的性质和静电场不同,静电场是保守场,稳恒磁场是非保守场。
计算应用
利用安培环路定理求磁场的前提条件:如果在某个载流导体的稳恒磁场中,可以找到一条闭合环路l,该环路上的磁感强度B大小处处相等,B的方向和环路的绕行方向也处处同向,这样利用安培环路定理求磁感强度B的问题,就转化为求环路长度,以及求环路所包围的电流代数和的问题,即
利用安培环路定理求磁场的适用范围:在磁场中能否找到上述的环路,取决于该磁场分布的对称性,而磁场分布的对称性又来源于电流分布的对称性。因此,只有下述几种电流的磁场,才能够利用安培环路定理求解。
1.电流的分布具有无限长轴对称性
2.电流的分布具有无限大面对称性
3.各种圆环形均匀密绕螺绕环
利用安培环路定理求磁场的基本步骤
1.首先用磁场叠加原理对载流体的磁场作对称性分析;
2.根据磁场的对称性和特征,选择适当形状的环路;
3.利用公式求磁感强度。