定义
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(任意a∈A则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,记为A⊆B或 B⊇A,读作“集合A包含于集合B”或集合B包含集合A”。
即:∀a∈A有a∈B,则A⊆B。
真子集
如果集合A是B的子集,且A≠B,即B中至少有一个元素不属于A,那么A就是B的真子集,可记作:A⊊B。
符号语言:若∀a∈A,均有a∈B,且 x∈B使x∉A,则A⊊B。
如图1所示,集合A就是集合B的真子集。
两者的包含范围不同。子集比真子集范围大,子集是包括本身的元素的集合,真子集是除本身的元素的集合。子集:集合A范围大于或等于集合B,B是A的子集;真子集:集合A范围比B大,B是A的真子集。
性质
一、根据子集的定义,我们知道A⊆A。也就是说,任何一个集合是它本身的子集。
二、对于空集∅,我们规定∅⊆A,即空集是任何集合的子集。
说明:若A=∅,则∅⊆A仍成立。
证明:给定任意集合A,要证明∅是A的子集。这要求给出所有∅的元素是A的元素;但是,∅没有元素。对有经验的数学家们来说,推论“∅没有元素,所以∅的所有元素是A 的元素"是显然的;但对初学者来说,有些麻烦。 因为∅没有任何元素,如何使"这些元素"成为别的集合的元素? 换一种思维将有所帮助。
为了证明∅不是A的子集,必须找到一个元素,属于∅,但不属于A。 因为∅没有元素,所以这是不可能的。因此∅一定是A的子集。
三、若A、B、C是集合,则:
自反性:A=A
反对称性:当且仅当 且时,
传递性:若且 ,则
这个命题说明:包含是一种偏序关系。
四、
这个命题说明:对任意集合S,S的幂集按包含排序是一个有界格,与上述命题相结合,则它是一个布尔代数。
五、: 对任意两个集合 A 和 B,下列所有表述等价:
A ⊆ B
A ∩ B =A
A ∪ B = B
A−B=A (当A∩B=∅) ;A−B=C?(A∩B)(当A∩B≠∅)
B′ ⊆ A′
这个命题说明:表述 "A ⊆ B " 和其他使用并集,交集和补集的表述是等价的,即包含关系在公理体系中是多余的。
六、假设非空集合A中含有n个元素,则有:
A的子集个数为。
A的真子集的个数为。
A的非空子集的个数为。
A的非空真子集的个数为。
集合运算时的基本概念
1、并集:一般的由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合称为集合A与B的并集,记作A∪B。
2、交集:一般的有属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作A∩B。
3、全集:一般的如果一个集合,还有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U。
4、补集:对于一个集合A由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合,称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集。