单位矩阵

矩阵

在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个几个世纪以来的课题，是一个不断扩大的研究领域。 矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。 针对特定矩阵结构（如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。 无限矩阵发生在行星理论和原子理论中。 无限矩阵的一个简单例子是代表一个函数的泰勒级数的导数算子的矩阵。

简介

主对角线上的元素都为1，其余元素全为0的n阶矩阵称为n阶单位矩阵，记为In或En，通常用I或E来表示。

在线性代数，大小为n的单位矩阵是在主对角线上均为1，而其他地方都是0的的正方矩阵。它用In表示，或有时阶数可忽略时就直接用I来表示。如下所示：

同时单位矩阵也可以简单地记为一个对角线矩阵：

性质

根据矩阵乘法的定义，单位矩阵的重要性质为：和

单位矩阵的特征值皆为1，任何向量都是单位矩阵的特征向量。

因为特征值之积等于行列式，所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之和等于迹数，单位矩阵的迹为 。

应用

高等代数中，在求解相应的矩阵时若添加单位矩阵然后通过初等变换进行求解往往可以使问题变得简单。

求等价标准型问题

设A是mxn矩阵，求A的等价标淮型D以及使PAQ=D成立的P与Q，按常规方法，一般会分别对A作行初等变化与列初等变化求出P、Q，而如果利用添加单位矩阵：即

当对A作行初等变换时，Im也作了相同的行初等变换，即化为P；

当对A作列初等变换时，In也作了相同的行初等变换，即化为Q。

求逆矩阵问题

设A是n阶可逆矩阵，求其逆矩阵。

一般的思想，同学们会先求出A*，再利用进行求解，这种方法算起来较麻烦且易出错。

可以利用，即把n阶单位矩阵I在A的右边，得到一个nx2n矩阵，然后对这一矩阵施行行初等变换，使得前n列变为I，这时后n列就化为了。

如果不知A是否可逆，也可用这种方法做，只要nX2n矩阵经行初等变换左边的nxn那一块中有一行(列)的元素全为0，则A不能经过初等变换化为单位矩阵，即A不可逆。

方法

生成N为单位方阵

我们以N=5为例，生成5阶单位方阵，在MATLAB主窗口中输入A=eye(5)回车

特殊情况 eye和eye(1)

我们可以看到eye或者eye(1)生成的是标量1，也就是特殊的矩阵-1阶单位方阵。