定理内容
欧拉函数的展开式如下:
即
欧拉函数展开后,有些次方项被消去,只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次,留下来的次方恰为广义五边形数。若将上式视为幂级数,其收敛半径为1,不过若只是当作形式幂级数来考虑,就不会考虑其收敛半径。
和分割函数的关系
欧拉函数的倒数是分割函数的母函数,亦即:
其中 为k的分割函数。上式配合 五边形数定理,可以得到:
考虑 项的系数,在
时,等式右侧的系数均为0,比较等式二侧的系数,可得:因此可得到分割函数
的递归式以
为例欧拉函数的展开式如下:
即
欧拉函数展开后,有些次方项被消去,只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次,留下来的次方恰为广义五边形数。若将上式视为幂级数,其收敛半径为1,不过若只是当作形式幂级数来考虑,就不会考虑其收敛半径。
欧拉函数的倒数是分割函数的母函数,亦即:
其中 为k的分割函数。上式配合 五边形数定理,可以得到:
考虑 项的系数,在
时,等式右侧的系数均为0,比较等式二侧的系数,可得:因此可得到分割函数
的递归式以
为例