三门问题:数学游戏问题-中文百科频道

问题与解答

问题

以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述，来自 Craig F. Whitaker 于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛莉莲·莎凡（Marilyn vos Savant）专栏的信件：

假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来说是一种优势吗？

以上叙述是对 Steve Selvin 于1975年2月寄给 American statistician 杂志的叙述的改编版本。如上文所述，蒙提霍尔问题是游戏节目环节的一个引申；蒙提·霍尔在节目中的确会开启一扇错误的门，以增加刺激感，但不会容许玩者更改他们的选择。如蒙提·霍尔寄给 Selvin 的信中所写：

如果你上过我的节目的话，你会觉得游戏很快—选定以后就没有交换的机会。

Selvin 在随后寄给 American Statistician 的信件中(1975年8月)首次使用了“蒙提霍尔问题”这个名称。

一个实质上完全相同的问题于1959年以“三囚犯问题”（three prisoners problem）的形式出现在马丁·葛登能（Martin Gardner）的《数学游戏》专栏中。葛登能版本的选择过程叙述得十分明确，避免了《展示杂志》版本里隐含的前提条件。

这条问题的首次出现，可能是在1889年约瑟夫·贝特朗所著的 Calcul des probabilités 一书中。在这本书中，这条问题被称为“贝特朗箱子悖论”（Bertrand's Box Paradox）。

Mueser 和 Granberg 透过在主持人的行为身上加上明确的限制条件，提出了对这个问题的一种不含糊的陈述︰

参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。

主持人知道每扇门后面有什么。

主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。

主持人永远都会挑一扇有山羊的门。

如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。

如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。

参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。

转换选择可以增加参赛者的机会吗？

解法一

问题的答案是可以：当参赛者转向另一扇门而不是继续维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。

有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)︰

参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。

参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。

参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。

在头两种情况，参赛者可以通过转换选择而赢得汽车。第三种情况是唯一一种参赛者通过保持原来选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是通过转换选择而赢的，所以通过转换选择而赢的概率是2/3。

如果没有最初选择，或者如果主持人随便打开一扇门，又或者如果主持人只会在参赛者作出某些选择时才会问是否转换选择的话，问题都将会变得不一样。例如，如果主持人先从两只山羊中剔除其中一只，然后才叫参赛者作出选择的话，选中的机会将会是1/2。

解法二

另一种解答是假设你永远都会转换选择，这时赢的唯一可能性就是选一扇没有车的门，因为主持人其后必定会开启另外一扇有山羊的门，消除了转换选择后选到另外一只羊的可能性。因为门的总数是三扇，有山羊的门的总数是两扇，所以转换选择而赢得汽车的概率是2/3，与初次选择时选中有山羊的门的概率一样。

补充说明

第一次选的空门（概率66.6%），之后主持人开另一个空门，换门，得到汽车

第一次选的汽车（概率33.3%），之后主持人开另一个空门，不换门，得到汽车

这里影响到结果的概率问题只发生在第一次选门上，如果条件如上设置，当一开始的门选定后，事件的结果也就决定了，所以这里不存在之后主持人是选择1号空门，还是2号空门的问题，所以在做概率计算是不考虑主持人的选择。如果也要考虑主持人的话：

第一次选的空门1（概率33.3%），之后主持人开另一个空门，换门，得到汽车。事件总概率33.3%

第一次选的空门2（概率33.3%），之后主持人开另一个空门，换门，得到汽车。事件总概率33.3%

第一次选的汽车（概率33.3%），之后主持人开另一个空门1（概率50%），换门，得到汽车这个事件总概率 33.3%*50%=16.65%

第一次选的汽车（概率33.3%），之后主持人开另一个空门2（概率50%），换门，得到汽车这个事件总概率 33.3%*50%=16.65%

主持人选1号空门还是2号空门打开，这里有个主持人的选择概率，我假设的是主持人随机选择（抽签或者随意），所以各给了50%的概率，如果主持人就是喜欢1号空门，必开1号，那么也就成了1号（100%），2号（0%）了，最后结果并不影响。

所以开始选中汽车，最后换门不得奖的概率是33.3%，开始选中空门，换门最后得奖的概率是66.6%

回响

对于回答“蒙提霍尔问题”（“Monty Hall dilemma”），玛丽莲·沃斯·莎凡特的专栏在20世纪90年代早期的美国卷起了一股旋风。这道题出现在霍尔主持的“让我们做笔交易”游戏秀中，参赛者面临着极其艰难的抉择。问题是在1990年9月9日由马里兰州哥伦比亚的克雷格·惠特克(Craig Whitaker)提出的。“亲爱的玛丽莲，”惠特克写道。“假如你在游戏秀现场，你有三扇门可供选择。其中一扇后面是一辆汽车，另外两辆后面各是一只山羊。你选择了一扇门，假定为门1，然后主持人（他知道门后面是什么）打开了另一扇门，假定为门3，后面是一只山羊。他问你‘你想选门2吗？’这时候，你如果改选门2是否更有优势？”

莎凡特的回答是改选会更有优势，这在全国引起了激烈的争议：人们寄来了数千封抱怨信，很多寄信人是科学老师或学者。一位来自佛罗里达大学的读者写道：“这个国家已经有够多的数学文盲了，我们不想再有个世界上智商最高的人来充数！真让人羞愧！”另一个人写道：“我看你就是那只山羊！”美国陆军研究所(US Army Research Institute)的埃弗雷特·哈曼(Everett Harman)写道，“如果连博士都要出错，我看这个国家马上要陷入严重的麻烦了。”

但是莎凡特并没有错。最后她用整整4个专栏，数百个新闻故事及在小学生课堂模拟的测验来说服她的读者她是正确的。“哦，那真是太有趣了。实际上我十分享受这些讨厌的来信，”她说。“这些家伙我真是爱死他们了！”

这一问题的关键在于主持人，因为他总会挑一扇后面没有奖品（汽车）的门。游戏秀的调查数据显示，那些改选的参赛选手赢的几率是那些没有改选的人的两倍，这证实了莎凡特在其第三篇专栏中的解释：“当你从三扇门中选了门1后，这扇门后面有奖的几率是1/3，另两扇门是2/3.但接下来主持人给了你一个线索。如果奖品在门2后，主持人将会打开门3；如果奖品在门3后，他会打开门2。所以如果你改选的话，只要奖品在门2或门3后你就会赢，两种情况你都会赢！但是如果你不改选，只有当奖品在门1后你才会赢。”